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# 位移、速度、加速度

在瞭解**位移**、**速度**、**加速度**三者的定義之後，是時候我們可以深入一點探究這三個物理量背後的關係了。我們將使用 **[微積分](/view/2d296cd71a?subj=physics)** 來探討這些東西背後的意義。

## 函數的切線斜率

在開始研究物理之前，讓我們先複習一下微分的基本定義。我們以 $y=f(x)=x^2$ 的圖形來舉例：

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其中，每一點都有各自的**切線斜率**。例如，在 $x=2$ 時，切線斜率為 $2$ ；在 $x=3$ 時，切線斜率為 $6$ 。如果現在我們要把 $f(x)$ 在各個點上的斜率寫作一個函數 $f\prime (x)$ ，我們可以將 $f(x)$ 進行微分：

$$ f\prime (x) = \frac{d}{dx} [f(x)]$$
$$ = \frac{d}{dx} [x^2] = 2x$$

於是我們便能知道，若要求 $y = x^2$ 圖形上任意一點的斜率，只需要將該點的 $x$ 座標帶入 $f^\prime (x) = 2x$ 這個函數就可以了。

## 速度是位移對時間的微分

回想一下速度與位移的基本定義，並且回想一下 **X-t 圖**與 **v-t 圖**。其實速度就是 X-t 圖上點跟點之間的斜率罷了！若今天求的是瞬時速率，那就是 X-t 圖上某一點的切線斜率。接著，讓我們將 X-t 圖上，X 與 t 的關係寫成函數。

假設有一個函數 $X(t)$，只要將時間 $t$ 代入該函數即可求得該時間的位置，此時，另一個函數 $v(t)$，將時間 $t$ 代入籍可求得該時間的速度，那麼我們就可以說：$v(t)$ 是 $X(t)$ 的微分。

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現在假設 $X(t) = x^2$ ，也就是說，當 $t = 2$時，位置的座標在 $4$，在 $t = 3$ 時，位置座標在 $9$。那我們要怎麼求得 $t = 2$ 和 $t = 3  時的瞬時速度呢？別忘了，**速度是位移對時間的微分**，因此我們可以得到：

$$ v(t) = \frac{d}{dt} [X(t)] $$
$$ = \frac{d}{dt} [t^2] = 2t $$

現在我們知道了 $v(t) = 2t$ 了，我們就可以知道 $t = 2$ 時速度是 $4$，$t = 3$ 時速度是 $6$。

## 加速度是速度對時間的微分

讓我們再回想一下 **v-t 圖**與 **a-t 圖**，是不是加速度就是速度的斜率呢？仔細想想，斜率就是某單位內的變化，而加速度正是速度的變化量，引此我們可以篤定地說，加速度是速度的斜率；或者說，**加速度是速度對時間的微分**。

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我們回想剛剛求得的 $v(t) = 2t$，如上圖所示。現在，我們要對速度微分，得到一個加速度對時間的函數：

$$ a(t) = \frac{d}{dt} [v(t)] $$
$$ =\frac{d}{dt} [2t] = 2 $$

我們得到了一個函數 $a(t) = 2$，可以知道，再任意時間點，該物的加速度都會是 $2$。

## 位移—速度—加速度

至此，我們知道了速度是位移對時間的微分，而加速度是速度對時間的微分。換句話說，加速度即是位移對時間的二階微分。用 $f(x)$ 與 $f^\prime (x)$ 的寫法可以寫作：

$$ v(t) = X^\prime (t) $$
$$ a(t) = v^\prime (t) = X^{\prime\prime} (t) $$

若寫作積分的形式，我們可以得到：

$$ X(t) = \int v(t) dt $$
$$ v(t) = \int a(t) dt $$

如果把位移、速度、加速度三個函數畫到同一張圖上，我們便可以得到這樣的圖形。仔細觀察的話可以發現，若今天位移是二次函數，速度便會是一次函數，而加速度即為零次函數（常數函數），這也符合了我們對**微積分**的認知。

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