自由落體運動

當一顆球從 30 公尺高的大樓樓頂掉落時，若撇除空氣的阻力因素，會需要多少的時間才會撞擊地板呢？想要回答這個問題，我們必須先思考一件事情：這顆球在掉落的過程中，進行了什麼樣子的運動呢？沒錯，這顆球進行了自由落體運動。在這個章節中，我們將探討物體在進行自由落體時的運動模式。

質量與重力加速度

我們首先來討論一件事情：物體在掉落的過程中，加速度會不會改變？想要知道這件事情，我們可以使用牛頓第二定律的 $F = m \cdot a$，以及牛頓的萬有引力定律來推導。在計算物體 1 和物體 2 之間的萬有引力時，引力 $F_g$：

$F_g = \frac{GM_1M_2}{r^2}$

其中，$G$為萬有引力常數，$M_1$ 代表物體 1 的質量，$M_2$ 代表物體 2 的質量，而 $r$ 則是兩物體之間的距離。現在我們所討論的是自由落體，因此我們將物體 1 假設為地球，物體 2 假設為正在掉落的物體。

我們知道，地球的質量並不會改變，因此，我們可以得知在下列式子中，並且將式子中的常數部分整理成係數 $C$：

$F_g = C\frac{M_2}{r^2}$

而現在，我們來討論一下 $r$ 的值。$r$ 為兩物體間的距離，根據球殼定理我們可以知道，$r$ 會等於物體與地心間的距離。又因為物體位於地球表面附近，$r$ 值維持在 6,371,000 公尺左右（地球半徑）。因此 $r$ 也可以視為一個常數。將這件事情與剛剛的式子結合，我們得到：

$F_g = C\frac{M_2}{r^2}$

$= k\cdot M_2$

接著，因為自由落體時，物體所受的力只有萬有引力，因此我們可以將物體掉落的過程以及受力情形以 $F=ma$ 和萬有引力定律來表示：

$F_g = M_2a = \frac{GM_1M_2}{r^2}$

將已知的常數提出，結合成剛剛的常數 $k$：

$F_g = M_2a = M_2k$

其中，$a$ 即是物體掉落時的加速度，而 $k$ 則是一個常數。我們可以由此推知，物體在地表附近行自由落體運動時，會以固定的加速度掉落。這個掉落的加速度，就稱為重力加速度，代號 $g$。

$g = \frac{GM_{earth}}{r_{earth}^2}$

$= 9.81m/s^2$

因為我們已經知道掉落物體的加速度都相同，等於 $g$，因此我們可以知道，不論掉落物體的質量為何，只要掉落物體的質量遠遠小於地球質量，那麼掉落的加速度就不會受到影響。

自由落體運動

既然我們已經知道物體在地表附近行自由落體運動時，其加速度固定不變，那麼我們就可以知道，自由落體運動不就是一個等加速度運動而已。這種等加速度運動初速為 0，而加速度等於重力加速度 $g$。

加速度的定義是：每秒變化了多少。既然今天我們的初速度是 0，這「每秒變化了多少」乘上「經過了幾秒」，就可以讓我們得到任一時間點的物體速度。因此，假設我們要計算第 5 秒末時，物體的速度，就好像在計算「每秒速度增加 9.81 m/s，問 5 秒後速度為何？」一樣簡單。

由此我們可以得到：

$v = gt = 9.81 t$

當然，我們也可以使用比較數學的方式來推導這個式子。利用加速度與速度間的微積分關係，可以得到：

$v = \int g (dt) = gt$

是不是得到了相同的答案了呢？除了速度之外，我們也能知道物體的位移，也就是物體總共掉落的距離。我們可以使用 V-t 圖中圖形下的面積來計算總位移，使用三角形的面積公式，我們可得：

$h = \frac{1}{2}gt^2$

當然，我們也可以使用數學來證明之。我們使用了速度與位移間的微積分關係，便能得到：

$h = \int v(dt)$

$= \int (gt)(dt)$

$= \frac{1}{2}gt^2$

例題

讓我們回到章節一開始的問題：當一顆球從 30 公尺的高處掉落，試問要在多久之後才能撞擊地面？

這個問題其實一點都不困難。既然我們已經知道 $h = \frac{1}{2}gt^2$，那麼我們就可以將數字代入，求得時間 $t$：

$30 = \frac{1}{2}\cdot 9.81t^2$

$t=\sqrt{\frac{30\cdot 2}{9.81}}$

$=2.47 (s)$