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# 動能

![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Behemoth_roller_coaster_near_bend.jpg/1920px-Behemoth_roller_coaster_near_bend.jpg)
一個運動中的物體，是否因為移動而具有能量呢？答案是有的。只要一個物體具有質量，並且以不等於 0 的速度運動，那麼它就帶有能量，這種能量稱為**動能**（**kinetic energy**, Ek or KE）

## 計算動能

讓我們先認識一下動能的計算方法，待會再一起來證明公式。對於一個質量為 $m$ 的物體，在速度 $v$ 的狀態下運行，其動能 $E_k$ 為：

$$E_k = \frac{1}{2}\cdot mv^2$$

有時候，我們已知物體的 **[動量](/view/22fc150685?subj=physics)** $p$ 和質量 $m$，並且被要求計算動能 $E_k$，我們可以使用動量的定義 $p = m\cdot v$ 得到這樣的公式方便計算：

$$E_k = \frac{p^2}{2m}$$

## 動能公式的證明

很多教科書中都沒有告訴我們動能的公式是如何證明的，難道是因為動能的公式需要使用到很困難的數學和物理概念？其實並沒有，這個章節的後半段，讓我們一起證明這個公式吧！

首先，讓我們思考一下，一個物體從靜止狀態（不具有動能），要怎麼樣才會得到動能呢？這個問題相當地簡單：一定是有**外力對物體[作功](/view/14ad0a00e6?subj=physics)**，才讓物體具有動能的！

也就是說，在沒有能量耗損的情況下，外力對物體作的功就會等於物體的動能。因此，我們只需要求得物體從靜止加速至速度 $v$ 的過程中，受到外力作的功，就可以求得物體的動能了。

根據定義，作功等於施力乘上平行於施力的位移：

$$W = F\cdot S$$

為了求得作功，我們進一步假設一個質量為 $m$ 的木塊，靜止於光滑的平面上。藉著，我們施予一個水平的推力於這個木塊上，使其以等加速度運動向前加速至速度 $v$。根據 **[牛頓第二定律](/view/e9999cc8c2?subj=physics)** ，物體的加速度 $a$ 為：

$$a = \frac{F}{m}$$

因此，從靜止加速到速度 $v$ 所需的時間 $t$ 為：

$$t = \frac{v}{a} = \frac{v\cdot m}{F}$$

我們的目標是求得物體的位移量，而因為物體進行等加速度運動，其自靜止以加速度 $a$ 向前行進 $t$ 秒所造成的位移為：

$$S = \frac{1}{2}a\cdot t^2$$

將我們剛才求得的 $a$ 和 $t$ 代入這個式子中，我們得到：

$$S = \frac{1}{2}\cdot \frac{F}{m}\cdot (\frac{v\cdot m}{F})^2$$

經過化簡之後，我們得到：

$$S = \frac{1}{2}\cdot \frac{m\cdot v^2}{F}$$

最後，我們將 $S$ 代入作功的定義 $W = F\cdot S$ 求得：

$$W = \frac{1}{2}\cdot mv^2$$

而因為物體所具有的動能等於作功，$E_k = W$：

$$E_k = \frac{1}{2}\cdot mv^2$$

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