動能
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動能


一個運動中的物體,是否因為移動而具有能量呢?答案是有的。只要一個物體具有質量,並且以不等於 0 的速度運動,那麼它就帶有能量,這種能量稱為動能kinetic energy, Ek or KE)

計算動能

讓我們先認識一下動能的計算方法,待會再一起來證明公式。對於一個質量為 mm 的物體,在速度 vv 的狀態下運行,其動能 EkE_k 為:

Ek=12mv2E_k = \frac{1}{2}\cdot mv^2

有時候,我們已知物體的 動量 pp 和質量 mm,並且被要求計算動能 EkE_k,我們可以使用動量的定義 p=mvp = m\cdot v 得到這樣的公式方便計算:

Ek=p22mE_k = \frac{p^2}{2m}

動能公式的證明

很多教科書中都沒有告訴我們動能的公式是如何證明的,難道是因為動能的公式需要使用到很困難的數學和物理概念?其實並沒有,這個章節的後半段,讓我們一起證明這個公式吧!

首先,讓我們思考一下,一個物體從靜止狀態(不具有動能),要怎麼樣才會得到動能呢?這個問題相當地簡單:一定是有外力對物體作功,才讓物體具有動能的!

也就是說,在沒有能量耗損的情況下,外力對物體作的功就會等於物體的動能。因此,我們只需要求得物體從靜止加速至速度 vv 的過程中,受到外力作的功,就可以求得物體的動能了。

根據定義,作功等於施力乘上平行於施力的位移:

W=FSW = F\cdot S

為了求得作功,我們進一步假設一個質量為 mm 的木塊,靜止於光滑的平面上。藉著,我們施予一個水平的推力於這個木塊上,使其以等加速度運動向前加速至速度 vv。根據 牛頓第二定律 ,物體的加速度 aa 為:

a=Fma = \frac{F}{m}

因此,從靜止加速到速度 vv 所需的時間 tt 為:

t=va=vmFt = \frac{v}{a} = \frac{v\cdot m}{F}

我們的目標是求得物體的位移量,而因為物體進行等加速度運動,其自靜止以加速度 aa 向前行進 tt 秒所造成的位移為:

S=12at2S = \frac{1}{2}a\cdot t^2

將我們剛才求得的 aatt 代入這個式子中,我們得到:

S=12Fm(vmF)2S = \frac{1}{2}\cdot \frac{F}{m}\cdot (\frac{v\cdot m}{F})^2

經過化簡之後,我們得到:

S=12mv2FS = \frac{1}{2}\cdot \frac{m\cdot v^2}{F}

最後,我們將 SS 代入作功的定義 W=FSW = F\cdot S 求得:

W=12mv2W = \frac{1}{2}\cdot mv^2

而因為物體所具有的動能等於作功,Ek=WE_k = W

Ek=12mv2E_k = \frac{1}{2}\cdot mv^2

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