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三角函數公式整理
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三角函數的定義

三角函數,是人們用來表示三角形上邊長與邊長之間關係的函數。當我們觀察一個直角三角形時,我們可以將各個函數定義作如下(adjadj為鄰邊;oppopp為對邊;hyphyp為斜邊):

sin(θ)=opphyp , cos(θ)=adjhyp\sin(\theta) = \frac{opp}{hyp} \text{ , } \cos(\theta) = \frac{adj}{hyp}

csc(θ)=hypopp , sec(θ)=hypadj\csc(\theta) = \frac{hyp}{opp} \text{ , } \sec(\theta) = \frac{hyp}{adj}

tan(θ)=oppadj , cot(θ)=adjopp\tan(\theta) = \frac{opp}{adj} \text{ , } \cot(\theta) = \frac{adj}{opp}

利用這些定義,我們可以衍伸出一些式子,表達不同三角函數間的關係:

tan(θ)=sin(θ)cos(θ) , cot(θ)=cos(θ)sin(θ)\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \text{ , } \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}

sec(θ)=1cos(θ) , csc(θ)=1sin(θ)\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} \text{ , } \csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}

三角函數與單位圓形|基礎數學|學呀

在單位圓中,我們可以將這些函數所對應的值在圖形上表示出來,也就是:

sin(θ)=y , cos(θ)=x\sin(\theta) = y \text{ , } \cos(\theta) = x

tan(θ)\tan(\theta) 即為半徑 rr 的斜率。

衍伸的公式

cos\cossin\sin 的定義進行整理,我們可以得到:

sin2θ+cos2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2\theta = 1

sin2θ=(1+cosθ)(1cosθ)\Rightarrow \sin^2\theta = (1+\cos\theta)(1-\cos\theta)

cos2θ=(1+sinθ)(1sinθ)\Rightarrow \cos^2\theta = (1+\sin\theta)(1-\sin\theta)

接著一樣很重要的是角度加減的公式:

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta +\cos\alpha \cdot \sin\beta

sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta -\cos\alpha \cdot \sin\beta

cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta -\sin\alpha \cdot \sin\beta

cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta +\sin\alpha \cdot \sin\beta

藉由 sin\sincos\cos 的加減公式,我們可以得到:

tan(α+β)=tanα+tanβ1tanαtanβ\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha \cdot \tan\beta}

tan(αβ)=tanαtanβ1+tanαtanβ\tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha \cdot \tan\beta}

若將 α\alphaβ\beta 代入相同的值,我們便能得到兩倍角公式:

sin(2θ)=2sinθcosθ\sin(2\theta) = 2\cdot \sin\theta \cdot \cos\theta

cos(2θ)=cos2θsin2θ\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta

tan(2θ)=2tanθ1tan2θ\tan(2\theta) = \frac{2 \cdot \tan\theta}{1-\tan^2\theta}

將上述公式代入不同符號並整理,可得半角公式:

sin(θ2)=±1cosθ2\sin(\frac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}

cos(θ2)=±1+cosθ2\cos(\frac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}

tan(θ2)=±sinθ1+cosθ\tan(\frac{\theta}{2}) = \pm\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}

最後是 sin\sincos\cos 的加減公式:

sinα+sinβ=2sin(α+β2)cos(αβ2)\sin\alpha + \sin\beta = 2\cdot \sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cdot \cos(\frac{\alpha-\beta}{2})

sinαsinβ=2sin(αβ2)cos(α+β2)\sin\alpha - \sin\beta = 2\cdot \sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\cdot \cos(\frac{\alpha+\beta}{2})

cosα+cosβ=2cos(αβ2)cos(α+β2)\cos\alpha + \cos\beta = 2\cdot \cos(\frac{\alpha-\beta}{2})\cdot \cos(\frac{\alpha+\beta}{2})

cosαcosβ=2sin(αβ2)sin(α+β2)\cos\alpha - \cos\beta = 2\cdot \sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\cdot \sin(\frac{\alpha+\beta}{2})

幾何上的運用

三角函數在幾何上的運用|正弦、餘弦定理|學呀

當我們有一個三角形,邊長與角度如上圖所示時,則面積會等於一半的兩邊乘上夾角的 sin\sin 值:

Area=12absin(C)\text{Area} =\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin(\angle C)

三邊長與對角的關係呈:

asinA=bsinB=csinC\frac{a}{\sin\angle A} = \frac{b}{\sin\angle B} = \frac{c}{\sin\angle C}

任意一邊長與另外兩邊的關係為:

c2=a2+b22abcosCc^2 = a^2 + b^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot \cos\angle C

若我們將 C\angle C 以 90度 帶入,則:

letC=90let \angle C = 90^{\circ}

cosC=0\Rightarrow \cos\angle C = 0

c2=a2+b2\Rightarrow c^2 = a^2 + b^2

即得畢氏定理。

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