彈簧的簡諧運動

彈簧的運動模式

如圖，我們將一個位於平衡狀態的彈簧加上一個木塊，並且將彈簧拉伸至位置 a。我們假設木塊與平面間沒有摩擦力，那麼在我們釋放彈簧後，木塊將會怎麼移動呢？

答案是：這個木塊將會被彈簧拉回，經過平衡位置後，到達 -a，接著再經由平衡位置回到 a，如此一直循環下去。因為我們假設了彈簧內部以及木塊和地面間沒有摩擦力，彈簧與木塊便永遠不會靜止下來。

但是，這樣的運動，能不能用數學式子來表達呢？其實是可以的，而且這數學可說是相當的平易進人。經過實驗以及推導後我們發現，彈簧來回擺動的動作，其實就是一個等速率圓周運動的投影。

圓周運動的投影

如上圖，我們首先假設一個在 x-y 平面上繞著原點行等速率圓周運動的物體，並且嘗試將其投影在另一軸上，觀察其 x 軸的運動模式。這個 x 軸上的木塊運動模式，就是所謂的簡諧運動，亦即「簡單又和諧的運動」（Simple Harmonic Motion,S.H.M.）。

接著，我們嘗試將這個投影後的運動用數學式子來表達，這樣就可以知道木塊在任意時間點下的位置。我們可以先用等速率圓周運動的數學式來思考。使用圓形的參數式，圖中的運動可以被寫成：

$x = a\cdot cos(\omega \cdot t)$

$y = a\cdot sin(\omega \cdot t)$

其中，$a$ 是一個常數，控制著等速率圓周運動的旋轉半徑，而 $\omega$ 也是一個常數，與圓周運動的週期有關。現在，我們要將以上的參數式投影於 x 軸，因此我們只需保留其 x 軸部分：

$x = a\cdot cos(\omega \cdot t)$

我們可以將彈簧的虎克定律與上面位置對時間的關係式結合。虎克定律說道，彈簧對物體所施的力與彈簧的伸縮長度成正比，並以彈性係數 $k$ 作為其正比的係數：

$F = -k\cdot \Delta x$

經過數學的運算後我們可以得到，一塊質量為 $m$ 的木塊與彈簧相接，經彈簧拉伸至拉伸量為 $a$ 後放手，其位置對時間的關係函數 $x(t)$ 可以寫作：

$x(t) = a\cdot cos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)$

上述的式子將在章節的後半段證明，此時此刻先讓我們用這個式子來推導出一些彈簧簡諧運動的特性。首先我們要知道的是，彈簧在任意一個時間下的速度。因為我們知道，速度是位移對時間的微分，因此我們可以直接微分後得到 $v(t)$：

$v(t) = -a\cdot \sqrt{\frac{k}{m}}\cdot sin(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)$

如果對上述的式子再一次微分，我們將能得到加速度對時間的函數 $\alpha (t)$：

$\alpha (t) = -a\cdot \frac{k}{m}\cdot cos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)$

接下來我們要計算的，是彈簧震盪的週期。震盪的週期所代表的，是木塊由起始位置 a 經過彈簧平衡位置到達 -a，再原路返回起始位置 a 所花費的時間，因此震盪的週期即為位置函數 $x(t)$ 的週期。我們將 $x(t)$ 中的三角函數部分放大來檢視：

$cos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)$

cos 函數不論在什麼及況下，週期都固定是 2π，因此欲求上述式子的週期，我們只需要將括號中的部分變成 2π 就可以了：

$\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t = 2\pi$

移項並且更換符號之後我們便能得到週期 $T$：

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

圓周投影的證明

簡諧運動為等速率圓周運動的投影是一個事實，但是究竟為什麼呢？接下來，我們來證明這個許多人充滿疑惑的世紀之謎吧！首先，我們先準備一個木塊接上彈簧，並將其拉伸到位置 a。此時彈簧所具有的彈力位能 $U_i$為：

$U_i = \frac{1}{2}k\cdot a^2$

在我們放開手後，木塊與彈簧將會開始震盪。最初的彈力位能 $U_i$ 不斷地被轉換為木塊的動能 $E_k$，剩餘的彈力位能則為 $U_x$，直到木塊位於彈簧的平衡位置。此時，彈簧剩餘的彈力位能 $U_x$ 為 0，而最初的彈力位能全部被轉換為動能。因為能量守恆，我們可以得到：

$U_i = U_x + E_k$

其中，$U_i$ 代表放手前彈簧具有的彈力位能，$U_x$ 代表彈簧震盪過程中彈簧在任意位置 $x$ 時具有的彈力位能，而 $E_k$ 代表木塊在任意位置 $x$ 的動能。根據定義，上述的式子可以重寫作：

$\frac{1}{2}k\cdot a^2 = \frac{1}{2}k\cdot x^2 + \frac{1}{2}m\cdot v^2$

這裡要注意的是，$a$ 代表的並非加速度，而是木塊起始位置的 x 座標。我們將左右兩式同乘以 2。又因為速度 $v$ 是位置 $x$ 的微分，因此我們將 $v$ 以 $x^\prime$ 來代替：

$k\cdot a^2 = k\cdot x^2 + m\cdot (x^\prime)^2$

同時除以 $k$ 後：

$a^2 = x^2 + \frac{m}{k}\cdot (x^\prime)^2$

解到這裡，大部分的人就無法再解下去了。上述的式子是一個微分方程，需要一定的數學方法才能解決。然而，這一個微分方程比較簡單，其實可以「用想的」想出結果來。我們的最終目標是求出 $x$ 函數是什麼。

因為 $a$ 是木塊的起始位置，不會因為木塊再震盪當下的位置而改變，因此為一個常數，連帶地，等號左側的 $a^2$ 也會是一個常數。我們現在要求 $x$ 函數，可以這樣想：「什麼樣的函數的平方，加上自己微分後的平方，會成為一個常數？」

我們知道，三角函數 $sin(x)$ 的微分為 $cos(x)$，而 $cos(x)$ 的微分為 $-sin(x)$。而我們又知道，$sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1$ 這個式子恆成立。這是不是與上面的微分方程有些什麼相似之處呢？沒錯，$x$ 函數求出來後就是一個三角函數。

經過一些計算和代數的猜測後，我們可以得到這樣的結果：

$x = a\cdot cos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)$

至此，我們得到了彈簧-木塊的震盪為等速率圓周運動投影的證明。