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彈簧的簡諧運動
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# 彈簧的簡諧運動 ## 彈簧的運動模式 如圖,我們將一個位於平衡狀態的彈簧加上一個木塊,並且將彈簧拉伸至位置 a。我們假設木塊與平面間沒有摩擦力,那麼在我們釋放彈簧後,木塊將會怎麼移動呢? ![](https://raw.githubusercontent.com/zetria-org/content/main/images/ihpsopz4v.jpg) 答案是:這個木塊將會被彈簧拉回,經過平衡位置後,到達 -a,接著再經由平衡位置回到 a,如此一直循環下去。因為我們假設了彈簧內部以及木塊和地面間沒有摩擦力,彈簧與木塊便永遠不會靜止下來。 但是,這樣的運動,能不能用數學式子來表達呢?其實是可以的,而且這數學可說是相當的平易進人。經過實驗以及推導後我們發現,彈簧來回擺動的動作,其實就是一個**等速率圓周運動的投影**。 ## 圓周運動的投影 ![](https://raw.githubusercontent.com/zetria-org/content/main/images/nycky8ofr.jpg) 如上圖,我們首先假設一個在 x-y 平面上繞著原點行等速率圓周運動的物體,並且嘗試將其投影在另一軸上,觀察其 x 軸的運動模式。這個 x 軸上的木塊運動模式,就是所謂的**簡諧運動**,亦即「簡單又和諧的運動」(Simple Harmonic Motion,**S.H.M.**)。 接著,我們嘗試將這個投影後的運動用數學式子來表達,這樣就可以知道木塊在任意時間點下的位置。我們可以先用等速率圓周運動的數學式來思考。使用圓形的參數式,圖中的運動可以被寫成: $$x = a\cdot cos(\omega \cdot t)$$ $$y = a\cdot sin(\omega \cdot t)$$ 其中,$a$ 是一個常數,控制著等速率圓周運動的旋轉半徑,而 $\omega$ 也是一個常數,與圓周運動的週期有關。現在,我們要將以上的參數式投影於 x 軸,因此我們只需保留其 x 軸部分: $$x = a\cdot cos(\omega \cdot t)$$ 我們可以將[彈簧的虎克定律](/view/656cbe3196?subj=physics)與上面位置對時間的關係式結合。虎克定律說道,彈簧對物體所施的力與彈簧的伸縮長度成正比,並以彈性係數 $k$ 作為其正比的係數: $$F = -k\cdot \Delta x$$ 經過數學的運算後我們可以得到,一塊質量為 $m$ 的木塊與彈簧相接,經彈簧拉伸至拉伸量為 $a$ 後放手,其位置對時間的關係函數 $x(t)$ 可以寫作: $$x(t) = a\cdot cos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)$$ 上述的式子將在章節的後半段證明,此時此刻先讓我們用這個式子來推導出一些彈簧簡諧運動的特性。首先我們要知道的是,彈簧在任意一個時間下的速度。因為我們知道,[速度是位移對時間的微分](/view/1eaf89530e?subj=physics),因此我們可以直接微分後得到 $v(t)$: $$v(t) = -a\cdot \sqrt{\frac{k}{m}}\cdot sin(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)$$ 如果對上述的式子再一次微分,我們將能得到加速度對時間的函數 $\alpha (t)$: $$\alpha (t) = -a\cdot \frac{k}{m}\cdot cos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)$$ 接下來我們要計算的,是彈簧震盪的週期。震盪的週期所代表的,是木塊由起始位置 a 經過彈簧平衡位置到達 -a,再原路返回起始位置 a 所花費的時間,因此震盪的週期即為位置函數 $x(t)$ 的週期。我們將 $x(t)$ 中的三角函數部分放大來檢視: $$cos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)$$ cos 函數不論在什麼及況下,週期都固定是 2π,因此欲求上述式子的週期,我們只需要將括號中的部分變成 2π 就可以了: $$\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t = 2\pi$$ 移項並且更換符號之後我們便能得到週期 $T$: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$ ## 圓周投影的證明 簡諧運動為等速率圓周運動的投影是一個事實,但是究竟為什麼呢?接下來,我們來證明這個許多人充滿疑惑的世紀之謎吧!首先,我們先準備一個木塊接上彈簧,並將其拉伸到位置 a。此時彈簧所具有的[彈力位能](/view/7a08bdc157?subj=physics) $U_i$為: $$U_i = \frac{1}{2}k\cdot a^2$$ 在我們放開手後,木塊與彈簧將會開始震盪。最初的彈力位能 $U_i$ 不斷地被轉換為木塊的動能 $E_k$,剩餘的彈力位能則為 $U_x$,直到木塊位於彈簧的平衡位置。此時,彈簧剩餘的彈力位能 $U_x$ 為 0,而最初的彈力位能全部被轉換為動能。因為能量守恆,我們可以得到: $$U_i = U_x + E_k$$ 其中,$U_i$ 代表放手前彈簧具有的彈力位能,$U_x$ 代表彈簧震盪過程中彈簧在任意位置 $x$ 時具有的彈力位能,而 $E_k$ 代表木塊在任意位置 $x$ 的動能。根據定義,上述的式子可以重寫作: $$\frac{1}{2}k\cdot a^2 = \frac{1}{2}k\cdot x^2 + \frac{1}{2}m\cdot v^2$$ 這裡要注意的是,$a$ 代表的並非加速度,而是木塊起始位置的 x 座標。我們將左右兩式同乘以 2。又因為速度 $v$ 是位置 $x$ 的微分,因此我們將 $v$ 以 $x^\prime$ 來代替: $$k\cdot a^2 = k\cdot x^2 + m\cdot (x^\prime)^2$$ 同時除以 $k$ 後: $$ a^2 = x^2 + \frac{m}{k}\cdot (x^\prime)^2 $$ 解到這裡,大部分的人就無法再解下去了。上述的式子是一個**微分方程**,需要一定的數學方法才能解決。然而,這一個微分方程比較簡單,其實可以「用想的」想出結果來。我們的最終目標是求出 $x$ 函數是什麼。 因為 $a$ 是木塊的起始位置,不會因為木塊再震盪當下的位置而改變,因此為一個常數,連帶地,等號左側的 $a^2$ 也會是一個常數。我們現在要求 $x$ 函數,可以這樣想:「什麼樣的函數的平方,加上自己微分後的平方,會成為一個常數?」 我們知道,三角函數 $sin(x)$ 的微分為 $cos(x)$,而 $cos(x)$ 的微分為 $-sin(x)$。而我們又知道,$sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1$ 這個式子恆成立。這是不是與上面的微分方程有些什麼相似之處呢?沒錯,$x$ 函數求出來後就是一個三角函數。 經過一些計算和代數的猜測後,我們可以得到這樣的結果: $$x = a\cdot cos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)$$ 至此,我們得到了彈簧-木塊的震盪為等速率圓周運動投影的證明。
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