克普勒第三定律
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行星週期定律

在克普勒提出的諸多關於天體運行的理論當中,有一個重要的定律,被稱為克普勒行星運動第三定律,又或是週期定律。這項定律大概是這樣的:「繞行同一星體運行的星體,運行週期的平方與軌道半徑的立方成正比。」如果寫成數學式子,大概是:

T2r3T^2 \propto r^3

T12r13=T22r23\Rightarrow \frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3}

這個公式不僅可以用在繞行相同恆星的不同行星,也可以用在繞行相同行星的不同衛星。但是要特別注意,必須是繞行相同的星體運動,這個公式才會成立!

以圓周運動證明週期公式

我們都知道,星體以橢圓形的軌道繞行另一星體運動,然而這個橢圓是相當趨近於圓形的,在此就姑且將它當作圓形好了!那麼既然天體軌道假設成了圓形,利用克普勒第二定律(等面積定律),我們就能知道天體公轉一事其實可以被看成是一個等速率圓周運動。

我們回想一下之前等速率圓周運動中,向心力的公式:

F=mv2rF=m\frac{v^2}{r}

接著,因為是等速率圓周運動,我們可以把速率 vv 當作是「圓周長」除以繞行一圈的週期 TT

v=2πrTv = \frac{2 \pi r}{T}

將上述的 vv 帶入第一個式子,我們便能得到:

F=m4π2rT2F = m \frac{4 \pi ^2 r}{T^2}

再來,我們思考一下星體公轉的向心力來源是什麼?沒錯,就是萬有引力!這裡,我們來回想一下萬有引力的公式:

F=GMmr2F = \frac{GMm}{r^2}

因為兩個 FF 是相同的(此處的萬有引力等於向心力),因此我們可以得到下列的等式:

GMmr2=m4π2rT2\frac{GMm}{r^2} = m \frac{4 \pi ^2 r}{T^2}

等號兩側做等量乘除法得:

T2=(4π2GM)r3T^2 = (\frac{4\pi ^2}{GM})r^3

這就是我們所要的答案啦!看一看這個式子我們可以發現,一開始假設的行星質量小寫 mm 在等量公理的過程中被消去了,所以我們能知道,行星的週期只跟公轉中心天體的質量以及軌道半徑有關。因此,只要對著同一中心公轉的天體,T2T^2r3r^3 間的比值都會相同。

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