克普勒第三定律｜學呀

克普勒第三定律

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# 行星週期定律

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在克普勒提出的諸多關於天體運行的理論當中，有一個重要的定律，被稱為**克普勒行星運動第三定律**，又或是**週期定律**。這項定律大概是這樣的：「繞行同一星體運行的星體，**運行週期的平方與軌道半徑的立方成正比**。」如果寫成數學式子，大概是：

$$ T^2 \propto r^3 $$
$$ \Rightarrow \frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3} $$

這個公式不僅可以用在繞行相同恆星的不同行星，也可以用在繞行相同行星的不同衛星。但是要特別注意，必須是**繞行相同的星體運動**，這個公式才會成立！

## 以圓周運動證明週期公式

我們都知道，星體以橢圓形的軌道繞行另一星體運動，然而這個橢圓是相當趨近於圓形的，在此就姑且將它當作圓形好了！那麼既然天體軌道假設成了圓形，利用克普勒第二定律（等面積定律），我們就能知道天體公轉一事其實可以被看成是一個等速率圓周運動。

我們回想一下之前等速率圓周運動中，向心力的公式：

$$F=m\frac{v^2}{r}$$

接著，因為是等速率圓周運動，我們可以把速率 $v$ 當作是「圓周長」除以繞行一圈的週期 $T$：

$$ v = \frac{2 \pi r}{T} $$

將上述的 $v$ 帶入第一個式子，我們便能得到：

$$ F = m \frac{4 \pi ^2 r}{T^2} $$

再來，我們思考一下星體公轉的向心力來源是什麼？沒錯，就是萬有引力！這裡，我們來回想一下萬有引力的公式：

$$ F = \frac{GMm}{r^2} $$

因為兩個 $F$ 是相同的（此處的萬有引力等於向心力），因此我們可以得到下列的等式：

$$ \frac{GMm}{r^2} = m \frac{4 \pi ^2 r}{T^2} $$

等號兩側做等量乘除法得：

$$ T^2 = (\frac{4\pi ^2}{GM})r^3 $$

這就是我們所要的答案啦！看一看這個式子我們可以發現，一開始假設的行星質量小寫 $m$ 在等量公理的過程中被消去了，所以我們能知道，**行星的週期只跟公轉中心天體的質量以及軌道半徑有關**。因此，只要對著同一中心公轉的天體，$T^2$ 與 $r^3$ 間的比值都會相同。

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