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斜面原理
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# 斜面原理 先讓我們想像兩個情境:如果有天,我們想把一個五十公斤重的箱子搬起,是垂直將其向上拉起,還是將其推上一個斜坡比較省力?一般人遇到這個問題時,都會選擇斜坡,但卻鮮少有人去討論:為什麼是斜坡省力? ## 用力圖看斜面 首先,讓我們假設一個光滑無摩擦的斜面,其與水平面夾角為 $\theta$ 。在斜面上有一個質量 $m$ 的均勻木塊,那麼這個木塊在斜面上所受的重力,將會如下圖所示: ![](https://raw.githubusercontent.com/zetria-org/content/main/images/xb3g4yq9e.jpg) 我們可以將木塊所受到的重力,分作與斜面垂直的 $F_\perp$,以及與斜面平行的 $F_{//}$。其中,$F_\perp$ 由斜面的正向力所支撐,而 $F_{//}$ 為向低處滑行的下滑力。 現在,我們將木塊置於斜面的底處,並且給它一個向上的能量讓它稍微動起來。接著,我們向木塊施力使其以等速度向斜面上運動,直到木塊到達斜面最高點為止。 整個過程中,木塊維持等速度運動,也就是說,木塊所受到的合力為 0。由此可知,我們將木塊上推的力 $F_{push}$ 等於木塊的下滑力,因此我們得到這樣的關係式: $$ F_{push} = mg\cdot cos(\theta) $$ 現在,我們可以來回答剛剛的問題了:為什麼將木塊由斜面上推會比將木塊垂直向上拉來的省力?其實我們可以的重新思考這個問題—垂直上拉所施的力,就等於沿著 $\theta$ 等於 90 度的斜面上推所施的力,我們便能得到: $$F_\perp = mg\cdot sin(90) = mg$$ 因為 $sin(90)$ 等於 1,為 $sin$ 函數的極大值,因此當斜面傾角 $\theta$ 不等於 90 度時: $$F_{push}<F_{pushupwards}$$ ## 用作功看斜面 除了使用力圖之外,另一個可行的證明方法是使用[作功](/view/14ad0a00e6?subj=physics)。讓我們回到剛剛那個置於斜面上的木塊。現在,讓我們將木塊放置於斜面底部,並且將其以等速度上推,直到木塊抵達斜面頂端為止。 在這整段過程中,木塊的質量與速度均沒有改變,意味著過程中木塊沒有動能的變化。然而,木塊的高度改變了,也就代表著它有**重力位能的變化**。這個變化即是**來自對木塊的施力所作的功**。 接著,我們來探討一下斜推時與垂直上拉時,作功以及木塊的能量變化之間的關係。如下圖所示,我們假設兩個相同質量的木塊,分別以垂直與斜面被推上斜坡: ![](https://raw.githubusercontent.com/zetria-org/content/main/images/oas399zgn.jpg) 因為兩者的動能均沒有變化,因此變化的只有重力位能,而兩木塊最終的高度相同,可知兩者的位能變化相同,亦即所受到的**作功相同**。作功的定義如下: $$W= F\cdot S$$ 其中,$W$ 為作功,$F$ 為施力,$S$ 為位移量。在圖中,木塊 1 的位移量為 $l$,而木塊 2 的位移量為 $h$,而兩者所受到的作功 $W$ 相等,因此: $$F_1\cdot l = F_2\cdot h$$ 又因為: $$l>h$$ 我們可以得到結論: $$F_1< F_2$$ 這裡,我們能看到的是:用斜推的上斜面所需的力比垂直向上所需的力來的小,這也符合我們的生活經驗。另外,我們也能從中看到一個重要的物理概念:**能量守恆**。 儘管 $F_1$ 相較於 $F_2$ 來的小,兩者最終所作的功卻是相同的,這是因為 $F_1$ 必須經過比較大的位移,才能將木塊推向斜面的頂端。除此之外,我們還能藉此看到斜面「**省力而費時**」的特性。
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