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彈力位能

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# 彈簧的能量

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## 彈性位能是什麼

我們知道，若是將物體放置到高處，在沒有東西支撐的情況下，物體會自己落下。而在落下的過程中，物體的動能不斷地增加，這是因為物體本來的重力位能被轉換成動能。

同樣的道理，如果我們今天將一個木塊推向彈簧，使得彈簧被推離平衡位置之後放開手，我們可以看到木塊被彈簧彈出去了。木塊的速度發生改變，因而產生了動能。而這些動能是哪裡來的呢？

沒錯，就是從一開始的彈簧來的。在我們推動彈簧的同時，便是在將能量儲存到彈簧中，等到手放開木塊的那一剎那，彈簧所儲存的**彈力位能**便開始被轉換為物體的動能。同樣關係到彈性位能的還有橡皮筋的拉伸、鬆緊帶的縮放、彈弓的彈射等。

## 用作功看位能

讓我們試著直覺地思考，彈簧在什麼情況下不帶有任何的彈性位能？這個問題簡單明瞭，任何不懂物理的人都能回答：在彈簧沒有被壓縮或伸展的情況下。因此，讓我們從彈簧平衡的時候開始討論。

首先，彈簧在平衡時是沒有彈力位能的。而當我們開始壓縮彈簧，彈力位能也就隨之增加。現在一個很重要的問題來了：這些增加的位能是從何而來的？這個的答案也很簡單：因為是我們用手推動彈簧，表示**彈力位能是源於手對彈簧的作功**。

在知道了這一點後，我們便可以計算彈簧的彈力位能了。我們先來複習一下[作功](/view/14ad0a00e6?subj=physics)的基本定義：

$$W = F\cdot s$$

其中，$F$ 代表著所施的力，而 $s$ 代表著施力所造成的位移。這裡需要注意，因為施力所造成的位移，因此在求位移時，必須求得的是與施力平行的位移，才能得到正確的結果。

上述這個式子只能在施力相等的情況下使用，也就是說，在位移的過程中，物體所受的力量大小必須保持在同一個值。然而，我們可以思考一下，根據[虎克定律](/view/656cbe3196?subj=physics)，手對彈簧的施力隨著位移而改變：

$$ F = -k\cdot \Delta X$$

這也表示，在彈簧壓縮的過程中，施力並不保持一定，因此我們不能使用上面作功的式子。不過，只要我們將該式寫作積分的形式，就可以順利地使用了！這是因為積分的過程中，我們將位移切作無限個小區塊，在各個小區塊內的施力都保持相等，因此可以用來計算作功。

$$W = \int F \cdot ds$$

另外，彈簧的位移 $s$ 就是虎克定律中的 $\Delta X$，以下寫作 $X$。帶入虎克定律的式子後，我們可以得到：

$$W = \int (k\cdot X)\cdot dX$$    
$$ = \frac{1}{2}kX^2$$

因此，我們便得到彈力位能 $U$ 的公式，其中，$k$ 代表彈簧的彈力係數，而 $X$ 代表彈簧末端最後與平衡位置的距離，即彈簧的壓縮量：

$$U = \frac{1}{2}kX^2$$

## 三角形面積計算位能

物理與數學最美麗的地方在於，我們不需要死背公式也可以學會怎麼計算，將觀念理解的透徹。上面我們使用積分來計算彈力位能，然而，我們只需要將作功的定義理解清出，便可以用圖表來解決。

在具有一些微積分的知識後，我們知道作功其實就是施力對位移的圖形中，函數下方的圖形面積。而因為虎克定律為一個線性函數，我們可以作出下列的圖，利用三角形面積來計算彈力位能：

![彈性位能與三角形面積｜一次函數積分、物理｜學呀](https://raw.githubusercontent.com/zetria-org/content/main/images/1vc8hl5wt.jpg)
## 思考彈力位能的公式

在經過了上面的公式推導後，我們得到了萬用的彈力位能公式。只要彈簧遵守虎克定律，並且維持在彈性限度內，其彈力位能：

$$U = \frac{1}{2}kX^2$$

仔細觀察這個公式後，你可能會有疑問：明明是一個簡簡單單的彈簧，我用手輕輕鬆鬆就推動它了，為什麼彈力位能的公式會有 $X^2$？其實，這並不奇怪，我們可以用一點生活經驗去思考：

假設你手上拿著一個有點硬的彈簧，現在，你用食指與拇指想要把彈簧壓扁。剛開始，彈簧只被壓縮一點點時，你會覺得輕鬆而不費力。然而，當你繼續對它施力，彈簧越來越趨近於被壓扁時，你會覺得壓扁彈簧不再輕鬆，而是相當費力的。

沒錯，剛開始壓扁彈簧時，你的手花費不怎麼多的能量在壓縮這個彈簧。當彈簧愈來愈扁，也就是 $X$ 愈來愈大時，你的手需要花費愈來愈多的能量才能壓扁它。因此我們可以合理地推測，彈力位能與伸長量並不單單只是正比關係，而是平方關係—的確，公式正是這樣告訴我們的！

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