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拋物線運動

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# 拋物線運動

我們都有過這種經驗：將籃球投向籃框、將鉛筆袋拋給坐在教室對面的同學、將棒球丟向捕手。但是你有沒有認真去思考過，這些東西有什麼共通點呢？答案是：它們都會向下掉落。這種物體在飛行過程中向下掉落的運動模式，稱為拋物線運動。

## 等加速度運動

假設我們將一顆球，以某一個角度向前丟出，那麼這顆球在向前飛行的同時，將會先向上飛，到達一定的高度後向下墜落，最後落地於我們前方某處。假設這顆球在飛行路徑中不受任何空氣阻力的影響，那麼它就只被地心引力影響。

也就是說，球從一開始的向上飛，到最後的向下掉落，都只受到同樣的力影響，亦即它只受到同樣的加速度影響。而在前面的章節中，我們對 **[重力加速度](/view/1035bbc074?subj=physics)** 有了基本的概念，將概念運用在此，我們可以說：「物體在飛行的過程中，一直受到重力加速度 $g$ 的影響。」

$$ g = 9.81 m/s^2 $$

## 垂直與水平速度

我們都知道，在計算向量的過程中，可以將向量拆解成多個向量的相加。在討論拋物線運動時，我們將物體運動速度分別分為垂直速度與水平速度來討論。假設現在我們已知物體的初速度為 $V_0$，那麼我們便能得到：

![拋體運動初速的分量｜三角函數、速度與向量｜學呀](https://raw.githubusercontent.com/zetria-org/content/main/images/v9nwx96xu.jpg)

而我們也知道，對於一個拋體而言，它在飛行的路徑中無時無刻都受到重力加速度 $g$ 的影響，如下圖所示：

![等加速度、重力加速度｜物理與理化｜學呀](https://raw.githubusercontent.com/zetria-org/content/main/images/w77dh7oti.jpg)

因為鉛直方向的速度所受的加速度，在飛行的整段過程中都是重力加速度 $g$，因此鉛直方向呈現**等加速度運動**，於是我們可以得到在物體落地前的任意時間點，其鉛直速度與時間的關係式：

$$V_{\perp} = V_0\cdot \sin(\theta) - gt$$

而因為重力加速度並不影響水平速度，因此飛行的過程中，水平速度不變：

$$V_{//} = V_0\cdot \cos(\theta)$$

## 最高點高度

拿剛剛向前拋球的例子來看，我們該如何計算那顆球可以到達的最高點呢？既然我們已經知道了初速度 $V_0$ 以及其與地面的夾角 $\theta$，那麼我們就可以開始計算了！

首先，讓我們思考一下，在什麼樣的情況下，才代表球達到其最高高度？其實這很簡單：只要球不再具有向上的鉛直速度，就代表它已經達到最高點了。也就是說，當鉛直速度 $V_{\perp}$ 受到重力加速度 $g$ 而變成 0 的那一刻，就代表球達到了最高點。又因鉛直方向為等加速度運動，我們可以得到：

$$V_{\perp}-gt = 0$$

解方程式後，我們得到到達最高點的時間 $t$：

$$t = \frac{V_{\perp}}{g}$$

接著，因為鉛直方向為等加速度運動，且其加速度大小為重力加速度 $g$，我們便能使用這個式子，其中 $h$ 代表高度：

$$h = \frac{1}{2}gt^2$$

帶入剛剛求得，到達最高點所需的時間 $t$，我們便能獲得最大高度：

$$h_{max} = \frac{1}{2}gt^2$$
$$ = \frac{1}{2}g\cdot (\frac{V_{\perp}}{g})^2  = \frac{V_{\perp}^2}{2g}$$
$$ = \frac{V_0^2\cdot \sin^2(\theta)}{2g}$$
## 水平射程

假設剛剛那顆球是從地面向上拋出，那麼要怎麼知道球會落在距離起始點多遠的地方呢？讓我們想想看：因為球最後落在相同的水平面，而且過程中水平速度維持不變，因此只要將**水平初速乘上飛行總時間**即可求得落地的距離。

而我們已知飛行的初速度是 $V_0$，也就是說，水平初速度是 $V_0\cdot cos(\theta)$，現在唯一缺乏的條件，就是飛行的總時間了。現在，讓我們思考飛行的時間應該怎麼計算：因為飛行路徑呈現拋物線，因此路徑以最高點為對稱軸左右對稱—**從地面到最高點所需的時間，等於從最高點回到地面的時間**。

我們從剛剛的推導得到，到達最高點所需的時間：

$$t_{h,max} = \frac{V_0\cdot \sin(\theta)}{g}$$

整段路徑所需的時間：

$$t_{drop} = \frac{2V_0\cdot \sin(\theta)}{g}$$

接下來，因為物體在水平方向呈現等速度運動，我們只需要將初始的水平速度乘上飛行的總時間，就可以得到物體落地點與其出發點的距離了：

$$D=V_{//}\cdot t_{drop}$$
$$ = V_0\cdot \cos(\theta)\cdot \frac{2V_0\cdot \sin(\theta)}{g}$$
將式子化簡，並且使用三角函數的兩倍角公式：

$$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$$

我們便能得到最終的算式：

$$D=\frac{V_0^2\cdot \sin(2\theta)}{g}$$

## 最大水平射程

在瞭解了以上的公式之後，我們不禁想問：要以什麼樣的角度拋射才可以達到最大的水平射程呢？一般人會很直覺性地回答：45 度。是的，這個答案是正確的，但是要怎麼證明 45 度可以飛的最遠呢？

我們只需要使用剛剛的水平射程公式：

$$D=\frac{V_0^2\cdot\sin(2\theta)}{g}$$

在**相同初速度**的情況下，如果我們想要將射程 $D$ 變到最大，就表示 $sin(2\theta)$ 需要達到最大值。而具有一些三角函數背景的我們都知道，$sin(90°)$ 時會達到最大值 1，因此若要具有最大射程，則：

$$2\theta = 90^\circ$$

$$\Rightarrow \theta = 45^\circ$$

## 軌跡方程式

最後，讓我們來看看拋體的**軌跡方程式**。如果現在，我們被要求要在 x-y 平面上畫出一個拋物線的軌跡，並且使用方程式來描述它，那麼我們要怎麼做呢？我們可以將鉛直與水平方向分開來討論。

因為鉛直方向是加速度為 $g$ 的等加速度運動，而水平方向則是等速度運動，我們可以得到水平與鉛直（x 和 y）位置對時間的關係式：

$$x = V_0\cdot \cos(\theta)\cdot t$$
$$y = V_0\cdot \sin(\theta)\cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$
我們的目標是求出 x 和 y 間的關係式，因此我們要將 $t$ 消去。先解 $t$：

$$ t = \frac{x}{V_0\cdot \cos(\theta)} $$

接著，將 $t$ 代入 y 對 t 的關係式：

$$y = \frac{V_0\cdot x\cdot \sin(\theta)}{V_0\cdot \cos(\theta)}-\frac{g}{2}\cdot \frac{x^2}{V_0^2\cdot \cos^2(\theta)} $$

化簡之後即得拋體運動的軌跡方程式：

$$y = \tan(\theta)\cdot x - \frac{g}{2V_0^2\cdot \cos^2(\theta)}x^2$$

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