常用的微分與積分公式｜學呀

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常用的微分與積分公式

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在上一個章節中，我們介紹了 **[微積分的意義](/view/2d296cd71a?subj=physics)**，在這個章節裡，我們將會列舉出一些常見的微分與積分公式。以下數學式中，$x$ 表示變數，$n$ 與 $a$ 表示常數，而 $f(x)$ 與 $g(x)$ 則表示 $x$ 的函數。

而為了讓公式看起來不要太過複雜，在這個章節裡我們將會使用「$\prime$」符號來表示微分，例如：$(f(x))^\prime$ 就代表 $f(x)$ 的微分，即 $df(x)/dx$。

# 微分

## 加減與係數

微分式的加減可以直接分開：

$$(f(x)+g(x))^\prime = f^\prime(x)+g^\prime(x)$$

係數（必須是常數）則可以提出式子外：

$$(a\cdot f(x))^\prime = a\cdot f^\prime(x)$$

## 多項式

遇到多項式的微分時，可以將次數向前提，再將次數 $-1$ 即可：

$$(x^n)^\prime=n\cdot x^{n-1}$$

## 乘除法

微分式的乘除法不可像加減法一樣直接分開，而是要遵循下列公式。乘法：

$$(f(x)\cdot g(x))^\prime$$
$$=f^\prime(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^\prime(x)$$

除法:

$$(\frac{f(x)}{g(x)})^\prime$$
$$=\frac{f^\prime(x)\cdot g(x)-g^\prime(x)\cdot f(x)}{g^2(x)}$$

## 連鎖律（chain rule）

微分式可以利用連鎖律進行變換，以利計算。

$$\frac{df(x)}{dx}=\frac{df(x)}{dg(x)}\frac{dg(x)}{dx}$$

如果將其用「$\prime$」的形式來表達，可以變成：

$$ f(g(x))^\prime = f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$$

連鎖律在 $f(x)$ 內含有根號或多重函數時十分有用，可以多加利用。

## 三角函數

常見的三角函數微分公式如下：

$$\frac{d\sin x}{dx}=\cos x$$
$$\frac{d\cos x}{dx}=-\sin x$$
$$\frac{d\tan x}{dx}=\sec^2 x$$

## 次方與自然對數

自然底數 $e$ ，或稱尤拉數，是一個常數，其值 $e \approx 2.718$。自然對數 $ln$ （natural log）則為以 $e$ 為底的對數，也就是說，$ln(x) = log_e(x)$。回到正題，含有 $e$ 與 $ln$ 的微分式具有以下特質：

$$(e^x)^\prime=e^x$$
$$(ln(x))^\prime=\frac{1}{x}$$

而當 $x$ 在指數次方時，微分法則如下：

$$(a^x)^\prime=ln(a) \cdot a^x$$

# 積分

## 定積分的計算

在積分時給定上下限，也就是[上一個章節](/view/2d296cd71a?subj=physics)提到的：

$$ \int_{x_1}^{x_2}dx$$
其中的 $x_1$ 與 $x_2$，代表的是從 $x_1$ 積分到 $x_2$，因此得到的結果會是一個數值。定積分的計算與表達方式如下：假設一函數 $f(x)$，其一次微分為 $f^{\prime}(x)$，則：
$$ \int_{x_1}^{x_2}f^{\prime}(x)dx$$
$$=f(x) \Big\vert_{x_1}^{x_2}=f(x_2)-f(x_1)$$

若是不定積分，也就是不加上述的 $x_1$ 與 $x_2$，我們的答案就不會是一個確定的數值，而是一個函數。這裡要記得的是，必須在答案最後加上一個積分常數 $C$。

$$ \int f^{\prime}(x)dx=f(x)+C$$

看似複雜的積分，其實並沒有想像的複雜。積分的過程，其實只是一個在尋找「**什麼樣的函數微分後會變這樣**」的過程而已：假設我們知道 $A$ 函數的微分是 $B$，那麼如果被要求對 $B$ 函數做積分，我們只要想辦法找到 $A$ 函數即可。
## 加減與係數

積分的加減與係數運算與微分相同。對於加減法而言，可以直接將左右拆開：

$$\int (f(x)+g(x))dx$$
$$=\int f(x)dx+\int g(x)dx$$
對於係數而言，則一樣可以向前提出：
$$\int af(x)dx=a\int f(x)dx$$

## 多項式

既然多項式的微分是將次數往前乘，次數 $-1$，那麼與微分相反的積分，當然就是將次數 $+1$，再往前除，即：

$$ \int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$

其中 $C$ 為不定積分時所產生的常數項。不定積分指當積分沒有指定上下限時，積分得到的結果唯一函數，而非一個數值，因此會產生一項新的常數項。（可以利用微分的想法思考：將常數 $C$ 微分之後它就會消失。）然而，以上的公式僅限於 $n \neq -1$ 時才可使用，當 $n=-1$ 時，公式如下：
$$\int \frac{1}{x}dx=ln(x)+C$$

## 變數變換

一些複雜的積分式可以利用變數變換使式子變得容易許多，假如今天我們遇到這樣一個看似複雜的式子：
 $$\int f(g(x))g^{\prime}(x)dx$$
我們可以利用變數變換簡化它。首先，由微分我們知道：
$$\frac{dg(x)}{dx}=g^{\prime}(x)$$
移項之後可得：
$$g^{\prime}(x) \cdot dx=dg(x)$$
回到剛剛的積分式 $\int f(g(x))g^\prime(x)dx$ ，我們可以發現積分式的右半部與上面的結果相等！因此我們可以令 $u=g(x)$，則上面的積分式就可以改寫成：
$$\int f(u)du$$
如此一來，積分就會變得十分簡單。

## 其它常見函數的積分

不管是什麼樣的函數，都可以用微分的結果倒推其積分，也就是剛剛所說的一個尋找「**什麼樣的函數微分後會變這樣**」的過程。以下列出幾個常見的公式：

$$\int \sin(x)dx=- \cos(x)+C$$
$$\int \cos(x)dx=\sin(x)+C$$
$$\int e^x dx=e^x +C$$

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