轉動慣量

如果要我們被要求以一定的加速度推動一個箱子，有什麼東西會影響我們所需的施力大小呢？根據 牛頓第二定律 $F=ma$，答案是質量。但如果我們被要求以一定的 角加速度 轉動一個物體，有什麼東西會影響我們所需的施力呢？

答案是：質量和半徑。我們可以先想像兩顆同樣大小的球，一顆比較重，另一顆比較輕。運用常理判斷，要轉動較重的球應該要施較大的力，因此我們知道，質量會影響所需的施力。再來，我們想像質量相等的球與呼拉圈。同樣運用常理判斷，要轉動呼拉圈所需的施力較大，因此我們知道，物體的半徑也會影響所需的施力。

那麼，在計算時有沒有什麼東西是能統合質量與半徑翻遍計算的呢？轉動慣量就這麼出現了。轉動慣量（moment of inertia）在轉動力學中相當於移動力學的質量：質量越大，越難推動；轉動慣量越大，越難轉動。

所以什麼是轉動慣量？

所以究竟什麼是轉動慣量？轉動慣量所描述的是一個物體的質量與質量的分布情形。對於一個質點而言，其轉動慣量 $I$ 定義為：

$I=m \cdot r^2$

其中，$m$ 為質點的質量，$r$ 則為質點與旋轉中心的距離。而倘若要計算一個非質點剛體的轉動慣量，可以把該物體視為由很多質點所組成的，再使用積分將所有各個質點的轉動慣量加總。

積分轉動慣量

就像上面所說的，當我們要計算一個非質點物體的轉動慣量時，可以將該物體切分成很多的小質點，再將各個質點的轉動慣量加總。以下將以一個長度為 $L$，質量為 $m$ 的細長棒子為例，求出其繞著質心（棒子中點）旋轉時的轉動慣量，如下圖所示：

為了解決這個問題，我們先來回想一下，一個質點的轉動慣量 $I = mr^2$，而今天我們所要計算的棒子並非一個質點，因此我們可以將其想像為無限多的小質點，再把這些小質點的轉動慣量加總起來，就是細棒的轉動慣量了。運用一點 微積分 的概念，我們可以把每個小質點的轉動慣量設為 $dI$，並將質量設為 $dm$，便能得到：

$dI = dm\cdot r^2$

因為棒子的長度是 $L$，因此兩端距離旋轉中心的距離皆為 $L/2$。也就是說，我們必須將半徑從 $-L/2$ 到 $L/2$ 的小質點都加總起來。因此，我們可以得到這樣的式子：

$I = \int_{r=-L/2}^{r=L/2}dm\cdot r^2$

但是在這裡，我們遇到了一個問題：我們所要計算的式子，是對 $r$ 作積分，但是積分式子裡的變數卻是 $dm$，那要怎麼辦呢？我們可以想辦法將 $dm$ 代換成 $dr$。此時，線密度就能派上用場了。線密度，指的就是單位長度上所具有的質量。因此，我們可以將這根棒子的線密度定義為 $\lambda$：

$\lambda=\frac{m}{L}$

接著，我們要做的就是把剛剛積分式中的 $dm$ 代換成 $dr$ 了。我們可以思考一下，$dm$ 是一小段長度所具有的質量，而 $dr$ 是每一小段的長度，也就是說，我們可以將兩者與線密度之間建立起關係：

$dm = \lambda\cdot dr$

將以上算式帶入積分式中，即可對 $r$ 做積分：

$\int_{-L/2}^{L/2} \lambda \cdot dr \cdot r^2$

由於 $\lambda$ 為常數，因此可以提到積分式外：

$\lambda \int_{-L/2}^{L/2} r^2 dr$

就可以進行計算：

$\lambda \frac{1}{3}r^3 \Big\vert_{-L/2}^{L/2}$

$=\frac{\lambda}{3}((\frac{L}{2})^3-(-\frac{L}{2})^3)$

$=\lambda \cdot \frac{L^3}{12}$

最後再將 $\lambda$ 還原回原有條件 $m/L$，就求得了棒子的轉動慣量為：

$\frac{1}{12}mL^2$

轉動動能

我們都知道移動的物體會有 移動動能 ：

$E_k=\frac{1}{2}mv^2$

轉動也有相對應的轉動動能。

我們現在假設一個質點m以速率$v$，距離圓心$r$做等速率圓周運動。我們可以清楚的知道，若以運動中的質點為參考點，其移動動能就如同上述所說的為

$E_k=\frac{1}{2}mv^2$

然而，我們現在將參考點移至圓心。參考點是固定的，因此不應有移動動能。那運動中的質點的動能跑去哪了? 我們可以對上述的移動動能做變換，如下:

$E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}(m \cdot r^2)(\frac{v}{r})^2$

回顧一下轉動力學，對於質點而言，$mr^2$正是轉動慣量$I$，而$\frac{v}{r}$是角速率$\omega$。因此上述的動能可以改寫為

$E_k=\frac{1}{2}I{\omega}^2$

而這就是轉動動能的公式。上述圓周運動的例子同時也凸顯了一件事:對於同一個參考點而言，該系統的總動能等於其移動動能加上轉動動能，即為

$E_k=E_{k,t}+E_{k,r}=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I{\omega}^2$